競賽專題講座平面幾何證明
競賽專題講座平面幾何證明
【競賽知識點撥】
1． 線段或角相等的證明
（1） 利用全等△或相似多邊形；
（2） 利用等腰△；
（3） 利用平行四邊形；
（4） 利用等量代換；
（5） 利用平行線的性質或利用比例關系
（6） 利用圓中的等量關系等。
2． 線段或角的和差倍分的證明
（1） 轉化為相等問題。如要證明a=bc，可以先作出線段p=bc，再去證明a=p，即所謂截長補短，角的問題仿此進行。
（2） 直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。
3． 兩線平行與垂直的證明
（1） 利用兩線平行與垂直的判定定理。
（2） 利用平行四邊形的性質可證明平行；利用等腰△的三線合一可證明垂直。
（3） 利用比例關系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。
【競賽例題剖析】
【例1】從⊙O外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD，連結BE交CD于F。求證：BE平分CD。
【分析1】構造兩個全等△。
連結ED、AC、AF。
CF=DF△ACF≌△EDF
PAB=AEB=PFB
【分析2】利用圓中的等量關系。連結OF、OP、OB。
PFB=POB
注：連結OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點共圓亦可。
【例2】△ABC內接于⊙O，P是弧 AB上的一點，過P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。
【分析】只需證， PMPN=MSNT。
（2，4）△APM∽△PBN
PMPN=AMBN
（BNT=AMS，BTN=MAS）△BNT∽△SMA
MSNT=AMBN
【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個交點，兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點。求證：O1AO2=M1AM2。
【分析】設B為兩圓的另一交點，連結并延長BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM為M1M2的中垂線。
在O1M上截取MO3=MO2，則M1AO3=M2AO2。
故只需證O1AM1=O3AM1，即證。
由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。
【例4】在△ABC中，ABAC，A的外角平分線交△ABC的外接圓于D，DEAB于E，求證：AE=。
【分析】方法1、2AE=AB-AC
在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA
DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC
DFA=DAF=DAG。
方法2、延長CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG
連結DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG
DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。
【例5】ABC的頂點B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過BA與圓的交點K引ABC平分線的垂線，交⊙O于P，交BC于M。
求證：線段PM為圓心到ABC平分線距離的2倍。
【分析】若角平分線過O，則P、M重合，PM=0，結論顯然成立。
若角平分線不過O，則延長DO至D，使OD=OD，則只需證DD=PM。連結DP、DM，則只需證DMPD為平行四邊形。
過O作mPK，則DD,KP，DPK=DKP
BL平分ABC，MKBLBL為MK的中垂線DKB=DMK
DPK=DMK，DP∥DM。而D D∥PM，
DMPD為平行四邊形。
【例6】在△ABC中，AP為A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BHAP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB。
【分析】方法1、結合中線和角平分線的性質，考慮用比例證明平行。
倍長中線：延長AM至M，使AM=MA，連結BA，如圖6-1。
PQ∥AB
ABQ=180HBA+BAH+CAP)= 180-90CAP=90BAP=ABQ
方法2、結合角平分線和BHAH聯想對稱知識。
延長BH交AC的延長線于B，如圖6-2。則H為BB的中點，因為M為BC的中點，連結HM，則HM∥B/C。延長HM交AB于O，則O為AB的中點。延長MO至M，使OM=OM，連結MA、MB，則AMBM是平行四邊形，
MP∥AM，QM∥BM。于是，，所以PQ∥AB。
【例7】菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。
求證：MQ∥NP。（95年全國聯賽二試3）
【分析】由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證AMQ=CPN，
結合C知，只需證△AMQ∽△CPN，AMCN=AQCP。
連結AC、BD，其交點為內切圓心O。設MN與⊙O切于K，連結OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=，MOK=，KON=，則
EOM=，FON=，EOF=2+2=180。
BON=90NOF-COF=90-=
CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM
又OCN=MAO，△OCN∽△MAO，于是，
AMCN=AOCO
同理，AQCP=AOCO。
【例8】ABCD是圓內接四邊形，其對角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KPAB。
【分析】延長KP交AB于L，則只需證PAL+APL=90，
即只需證PDC+KPC=90，只需證PDC=PKF，
因為P、F、K、E四點共圓，故只需證PDC=PEF，即EF∥DC。
△DME∽△CNF
【例9】以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點M。求證：AMBC。
【分析】連結BE、CD交于H，則H為垂心，故AHBC。（同一法）
設AHBC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。
OM1∥DFOM1=。
OM2∥EGOM2=。
只需證OGDF=EGOF，即Rt△OEG∽Rt△ODFDOF=DHB=EHC=EOG。
[標簽：推理與證明,幾何,幾何問題,講座]
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