換底公式的兩種證明方法
換底公式的兩種證明方法
換底公式是一個比較重要的公式，在很多對數的計算中都要使用，也是高中數學的重點。另有兩個推論。
loga(b)表示以a為底的b的對數。
換底公式一：log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1)
推導過程
若有對數log(a)(b)設a=n^x,b=n^y(n>0,且n不為1)如：log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)
則log(a)(b)=log(n^x)(n^y)
根據對數的基本公式
log(a)(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a)M
易得
log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/xlog(n)(n)=y/x
由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)
則有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得證：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)*log(c)(a)=log(c)(c)=1
公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)
證明如下：
由換底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b為底的對數
log(b)(b)=1=1/log(b)(a)還可變形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1
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