三角形的角平分線

時(shí)間：2021-07-30 18:30:27 教案我要投稿

三角形的角平分線

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、理解三角形的內(nèi)外角平分線定理；

　　2、會(huì)證明三角形的內(nèi)外角平分線定理；

　　3、通過(guò)對(duì)定理的證明，學(xué)習(xí)幾何證明方法和作輔助線的方法；

　　4、培養(yǎng)邏輯思維能力。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　1、幾何證明中的證法分析；

　　2、添加輔助線的方法。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　如何添加有用的輔助線。

　　教學(xué)關(guān)鍵：

　　抓住相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)。

　　教學(xué)方法：

　　“四段式”教學(xué)法，即讀、議、講、練。

　　一、閱讀課本，注意問(wèn)題

　　1、復(fù)習(xí)舊知識(shí)，回答下列問(wèn)題

　　①在等腰三角形中，怎樣從等邊得出等角？又怎樣從等角得出等邊？請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明。

　　②輔助線的作法中，除了過(guò)兩個(gè)點(diǎn)連接一條線段外，最常見(jiàn)的就是過(guò)某個(gè)已知點(diǎn)作某條已知直線的平行線。平行線有哪些性質(zhì)？

　　③怎樣判斷兩個(gè)三角形是相似的？相似三角形最基本的性質(zhì)是什么？

　　④幾何證明中怎樣構(gòu)造有用的相似三角形？

　　2、閱讀課本，弄清楚教材的內(nèi)容，并注意教材上是怎樣講的。

　　提示：課本上在這一節(jié)講了三角形的內(nèi)外角平分線定理，每個(gè)定理各講了一種證明方法。為了敘述定理的需要，課本上還講了線段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)兩個(gè)概念。最后用一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明怎樣運(yùn)用三角形的內(nèi)外角平分線定理。閱讀時(shí)要注意課本上有關(guān)問(wèn)題的敘述、分析以及作輔助線的方法。通過(guò)適當(dāng)?shù)穆?lián)想和猜測(cè)，找出一些課本上尚未出現(xiàn)的新的證明方法。

　　3、注意下列問(wèn)題：

　　⑴如圖，等腰中，頂角的平分線交底邊于，那么，圖中出現(xiàn)的相等線段是xxx即xxx。通過(guò)比較得到。

　　⑵如果上面問(wèn)題中的換成任意三角形，即右圖的，平分，交于，那么，是不是還成立？請(qǐng)同學(xué)們用刻度尺量一量線段的長(zhǎng)度，計(jì)算，然后再比較（小的誤差忽略不計(jì)）。

　　⑶三角形的內(nèi)角平分線定理說(shuō)的是什么意思？課本上是怎樣寫(xiě)已知、求證的？

　　⑷課本上是怎樣進(jìn)行分析、證明的？都用了哪些學(xué)過(guò)的知識(shí)？證明的根據(jù)是什么？

　　⑸課本上證明的過(guò)程中是怎樣作輔助線的？這樣作輔助線的目的是什么？

　　⑹過(guò)、、三點(diǎn)能不能作出有用的輔助線？如果能，輔助線應(yīng)該怎樣作？各能作出幾條？

　　⑺就作出的輔助線，怎樣尋找證明的思路和方法？分析的過(guò)程中用到了哪些知識(shí)？

　　⑻你能不能類似地?cái)⑹鋈切蔚耐饨瞧椒志€定理？

　　⑼回答練習(xí)中的第一題。

　　⑽總結(jié)證明方法和作輔助線的方法。

　　⑾注意內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)兩個(gè)概念及其應(yīng)用。

　　4、閱讀指導(dǎo)叢書(shū)《平面幾何》第二冊(cè)。

　　⑴注意輔助線中平行線的作法，通過(guò)對(duì)圖、、的觀察分析，找出解決問(wèn)題的證明方法。

　　⑵叢書(shū)利用正弦定理中的面積公式來(lái)證明三角形的內(nèi)角平分線定理，既把有關(guān)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)、拓展了解題思路，又為我們提供了一種比較簡(jiǎn)單的解決問(wèn)題的方法，值得我們借鑒。要注意三角形面積的幾種不同的計(jì)算方法。

　　二、互相討論，解答疑點(diǎn)

　　1、上面提出的問(wèn)題，希望大家獨(dú)立思考、獨(dú)立完成。根據(jù)已有的思路和線索，參照課本上的方法進(jìn)行分析。

　　2、思考中實(shí)在是有困難的同學(xué)，可以和周圍的同學(xué)互相討論，發(fā)表看法；也可以請(qǐng)老師幫助、提示或指點(diǎn)。

　　3、把同學(xué)之間討論的結(jié)果，整理成一個(gè)完整的證明過(guò)程，寫(xiě)出每一步證明的根據(jù)。最后，適當(dāng)?shù)乜偨Y(jié)一些解題的經(jīng)驗(yàn)和方法。

　　三、講評(píng)糾正，整理內(nèi)容

　　1、把學(xué)生討論的結(jié)果歸納出來(lái)，加以補(bǔ)充說(shuō)明，糾正錯(cuò)誤后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸惪偨Y(jié)，點(diǎn)明證題法中的要點(diǎn)。

　　①證明比例式的依據(jù)是平行截割定理的推論，因此，我們作的輔助線都是平行線。

　　②從上述幾種證明方法可以看出，證明的關(guān)鍵在于通過(guò)作輔助線把某些線段“移動(dòng)”到適當(dāng)?shù)奈恢茫员愀鶕?jù)平行截割定理的推論得出所要的結(jié)論。

　　③輔助平行線的作法，只能是過(guò)xxx三點(diǎn)分別作不過(guò)、三點(diǎn)的邊（線段）的平行線，和另一條邊（線段）的延長(zhǎng)線相交，構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，達(dá)到“移動(dòng)”的目的。

　　2、整理教學(xué)內(nèi)容

　　⑴線段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)

　　（ⅰ）定義：

　　①在線段上，把線段分成兩條線段的點(diǎn)叫做這條線段的內(nèi)分點(diǎn)。

　　②在線段的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)叫做這條線段的外分點(diǎn)。

　　（ⅱ）舉例

　　點(diǎn)在線段上，把線段分成了和兩條線段，所以，點(diǎn)是線段的內(nèi)分點(diǎn)，線段和叫做點(diǎn)內(nèi)分線段所得的兩條線段。

　　點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，和、兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成了、兩條線段，所以，點(diǎn)是線段的外分點(diǎn)，線段和叫做點(diǎn)外分線段所得的兩條線段。

　　（ⅲ）條件

　　①內(nèi)分點(diǎn)的條件：a）在已知線段上；

　　b）把已知線段分成另外兩條線段。

　　②外分點(diǎn)a）在已知線段的延長(zhǎng)線上；

　　b）和已知線段的兩端點(diǎn)構(gòu)成另外的兩條線段。

　　（ⅳ）特殊情況

　　a）線段的中點(diǎn)是不是線段的內(nèi)分點(diǎn)？?jī)?nèi)分點(diǎn)是不是線段的中點(diǎn)？

　　b）線段的黃金分割點(diǎn)是不是線段的內(nèi)分點(diǎn)？?jī)?nèi)分點(diǎn)是不是線段的黃金分割點(diǎn)？

　　c）一條已知線段有幾個(gè)中點(diǎn)？有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？有幾個(gè)內(nèi)分點(diǎn)？幾個(gè)外分點(diǎn)？

　　（ⅰ）定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。

　　（ⅱ）已知：中，平分，交于。

　　求證：xxx。

　　（ⅲ）簡(jiǎn)單分析

　　從結(jié)論來(lái)考慮，橫著看，兩個(gè)比的前項(xiàng)、在中，兩個(gè)比的后項(xiàng)、在中。按照相似三角形的性質(zhì)，只要∽，那么，結(jié)論就是成立的。但是，與不是一對(duì)相似三角形，所以，不可能用相似三角形來(lái)證明。豎著看，有和，事實(shí)上，不成一個(gè)三角形。若是從“平行線分兩條線段所得的.線段對(duì)應(yīng)成比例”（平行截割定理的推論）來(lái)考慮，顯然，圖中也沒(méi)有平行線。因此，要想得到結(jié)論，只有把其中的某條線段進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)，使其構(gòu)成相似三角形的對(duì)應(yīng)邊，或者成為兩條直線上被平行線截得的對(duì)應(yīng)線段。這樣，我們就確定了輔助線的作法以平行線為主。

　　例如，把線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊綀D中的位置（即的延長(zhǎng)線）。由于旋轉(zhuǎn)不改變線段的長(zhǎng)度，所以，從旋轉(zhuǎn)情況可得。由于平分，所以，連接后可以證明。因此，實(shí)際證明時(shí)，一般都敘述為“過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于”。不管是哪種說(shuō)法，其結(jié)果都是一樣的。類似地，我們還可以把線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊蕉它c(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上，同樣也可以證明。

　　（ⅳ）證法提要

　　①證法一：如上圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過(guò)等量代換便可以得到結(jié)論。同樣，過(guò)點(diǎn)作的平行線和邊的延長(zhǎng)線相交，也可以證得結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。

　　②證法二：如右圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過(guò)等量代換便可以得到所要的結(jié)論。同樣，過(guò)點(diǎn)作的平行線和的延長(zhǎng)線相交，也可以得到結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。

　　③證法三：如右圖，過(guò)點(diǎn)作交于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）；c)。通過(guò)等量代換便可以得到所要的結(jié)論。同樣，過(guò)點(diǎn)作的平行線和相交，也可以得到結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。

　　④證法四：如下頁(yè)圖，過(guò)點(diǎn)作交于，根據(jù)三角形的面積公式可得：xxx

　　又根據(jù)正弦定理的面積公式有：

　　通過(guò)比較就可以得到：所要的結(jié)論。

　　（ⅰ）定理：三角形的外角平分線外分對(duì)邊所得的兩條線段與夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。

　　（ⅱ）已知：中，是的一個(gè)外角，平分，交的延長(zhǎng)線于。

　　求證：xxx。

　　（ⅲ）簡(jiǎn)單分析：（類同內(nèi)角平分線定理的分析方法）

　　（ⅳ）證法提要；（類同內(nèi)角平分線定理的分析方法）

　　四、小結(jié)全節(jié)，練習(xí)鞏固

　　1、小結(jié)

　　⑴兩個(gè)定理