數學教案-雙曲線的幾何性質

    時間:2021-12-13 13:03:57 教案 我要投稿

    數學教案-雙曲線的幾何性質

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    數學教案-雙曲線的幾何性質

      ㈠課時目標

      1.熟悉雙曲線的幾何性質。

      2.能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。

      3.能運用雙曲線的幾何性質或圖形特征,確定焦點的位置,會求雙曲線的標準方程。

      ㈡教學過程

      [情景設置]

      敘述橢圓的幾何性質,并填寫下表:

      方程

      性質

      圖像(略)

      范圍-a≤x≤a,-b≤y≤b

      對稱性對稱軸、對稱中心

      頂點(±a,0)、(±b,0)

      離心率e=(幾何意義)

      [探索研究]

      1.類比橢圓的幾何性質,探討雙曲線的幾何性質:范圍、對稱性、頂點、離心率。

      雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。

      雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下:

      方程

      性質

      圖像(略)(略)

      范圍-a≤x≤a,-b≤y≤bx≥a,或x≤-a,y∈R

      對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心

      頂點(±a,0)、(±b,0)(-a,0)、(a,0)

      離心率0<e=<1

      e=>1

      下面繼續研究離心率的幾何意義:

      (a、b、c、e關系:c2=a2+b2, e=>1)

      2.漸近線的發現與論證

      根據橢圓的上述四個性質,能較為準確地把畫出來嗎?(能)

      根據上述雙曲線的四個性質,能較為準確地把畫出來嗎?(不能)

      通過列表描點,能把雙曲線的頂點及附近的點,比較精確地畫出來,但雙曲線向何處伸展就不很清楚。

      我們能較為準確地畫出曲線y=,這是為什么?(因為當雙曲線伸向遠處時,它與x軸、y軸無限接近)此時,x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。

      問:雙曲線有沒有漸近線呢?若有,又該是怎樣的直線呢?

      引導猜想:在研究雙曲線的范圍時,由雙曲線的標準方程可解出:

      y=± =±

      當x無限增大時,就無限趨近于零,也就是說,這是雙曲線y=±

      與直線y=±無限接近。

      這使我們猜想直線y=±為雙曲線的漸近線。

      直線y=±恰好是過實軸端點A1、A2,虛軸端點B1、B2,作平行于坐標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線,那么,如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時,與漸近線越來越接近呢?顯然,只要考慮第一象限即可。

      證法1:如圖,設M(x0,y0)為第一象限內雙曲線上的仍一點,則

      y0=,M(x0,y0)到漸近線ay-bx=0的距離為:

      ∣MQ∣= =

      =.

      點M向遠處運動,x0隨著增大,∣MQ∣就逐漸減小,M點就無限接近于y=

      故把y=±叫做雙曲線的漸近線。

      3.離心率的幾何意義

      ∵e=,c>a, ∴e>1由等式c2-a2=b2,可得===

      e越小(接近于1)越接近于0,雙曲線開口越小(扁狹)

      e越大越大,雙曲線開口越大(開闊)

      4.鞏固練習

      求下列雙曲線的漸近線方程,并畫出雙曲線。

      ①4x2-y2=4 ②4x2-y2=-4

      已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0,分別求出過以下各點的雙曲線方程

      ①M(4,)②M(4,)

      [知識應用與解題研究]

      例1求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。

      例2雙曲線型自然通風塔的`外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面,如圖;它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當的坐標系,求出此雙曲線的方程(精確到1m)

      ㈣提煉總結

      1.雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關系。

      2.漸近線是雙曲線特有的性質,其發現證明蘊含了重要的數學思想與數學方法。

      3.雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。

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