不等關系與不等式教案

時間：2022-04-05 11:07:57 教案我要投稿

不等關系與不等式教案

　　在教學工作者開展教學活動前，總不可避免地需要編寫教案，編寫教案助于積累教學經(jīng)驗，不斷提高教學質量。教案應該怎么寫呢？以下是小編收集整理的不等關系與不等式教案，歡迎閱讀與收藏。

不等關系與不等式教案

不等關系與不等式教案1

　　【教學目標】

　　1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。

　　2．建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關系。

　　3．了解不等式或不等式組的實際背景。

　　4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。

　　【重點難點】

　　重點:

　　１.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。

　　２.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。

　　3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。

　　難點:

　　1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。

　　2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。

　　【方法手段】

　　1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。

　　2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。

　　3.設計教典型的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生的學習興趣和積極性。

　　【教學過程】

　　教學環(huán)節(jié)

　　教師活動

　　學生活動

　　設計意圖

　　導入新課

　　日常生活中，同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關系。你能舉出一些例子嗎？

　　實例1.某天的天氣預報報道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。

　　實例2.若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零。

　　實例3.兩點之間線段最短。

　　實例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

　　引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下，學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛，又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。

　　推進新課

　　同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活，又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系，非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標題《不等關系與不等式》，所舉的實例都是反映不等量的關系。

　　（下面利用電腦投影展示兩個實例）

　　實例5：限時40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時，應使汽車的速度v不超過40km/h。

　　實例6：某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.

　　同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。

　　讓學生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關系來描述

　　過程引導

　　能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢？

　　什么是不等式呢？

　　用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

　　能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的研究，反過來作用于現(xiàn)實生活，這才是學習數(shù)學的最終目的。

　　思考并回答老師的問題：可以用不等式或不等式組來表示不等關系。

　　經(jīng)過老師的啟發(fā)和點撥，學生可以自己總結出：用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。

　　目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號≤，≥的含義，是或的關系。回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了。

　　此時學生已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點了。

　　合作探究

　　（一）。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來，那應該怎么表示呢？

　　這兩位同學的觀點是否正確？

　　老師要表揚學生：“很好！這樣思考問題很嚴密。”應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系，也可以用“且”的形式來表達。

　　（二）。問題一：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點。

　　請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。

　　老師提示：借助于圖形，這個問題是不是可以解決？

　　（下面讓學生板演，結合三角形草圖來表達）

　　問題（二）：某種雜志原以每本2。5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0。1元，銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？

　　是不是還有其他的思路？

　　為什么可以這樣設？

　　很好，請繼續(xù)講。

　　這位學生回答的很好，表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。

　　問題（三）：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式？

　　假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應當有什么樣的不等量關系呢？

　　右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢？

　　這位學生回答得很好，思維很嚴密，那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢？

　　通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來，這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1，2。

　　課堂小結：

　　1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。

　　2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。

　　3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密，規(guī)范，并且要注意數(shù)形結合等思想方法的綜合應用。

　　布置作業(yè)：

　　第75頁習題3.1 A組4，5。

　　29℃≤t≤35℃

　　x≥0

　　|AC|+|BC|>|AB|

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、

　　|AB|-|AC|<|BC|.交被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以。

　　如果用表示速度，則v≤40km/h.

　　f≥2.5%或p≥2.3%

　　學生自己糾正了錯誤：這種表達是錯誤的，因為兩個不等量關系要同時滿足，所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

　　過點A作AC⊥平面于點C，則d=|AC|≤|AB|

　　可設雜志的定價為x元，則銷售量就減少萬本。銷售量變?yōu)?8-)萬本，則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.

　　解法二：可設雜志的單價提高了0.1n元，（n）

　　我只考慮單價的增量。

　　那么銷售量減少了0.2n萬本，單價為（2.5+0.1n）元，則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.

　　截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。

　　截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。

　　截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負數(shù)。

　　它們是同時滿足條件，應該是且的關系。由實際問題的意義，還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系，可以用下面的不等式組來表示：

　　如果學生沒有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發(fā)學生考慮三邊的大小關系。

　　此時啟發(fā)學生“或”字可以嗎？學生沒有了聲音，他們在思考著。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。

　　此時學生們在思考，時間長的話，老師要及時點撥。

　　讓學生知道，在解決問題時應該貫穿數(shù)形結合的思想，以形助數(shù)，下面有學生的聲音，有學生在討論，有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況，并且及時的加以指導。

　　此時學生已經(jīng)真正進入本節(jié)課的學習狀態(tài)，老師再給出問題（三）使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態(tài)。問題是教學研究的核心，以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識。

　　【教學反思】(【設計說明】)

　　本節(jié)課內(nèi)容很多，都是不等式和不等式組的有關問題，還有很多是生活中的實例，學生學習起來很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數(shù)學生都能很積極地回答問題，使課堂的學習氣氛很濃，確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學，邊講授邊引導，啟發(fā)學習思考問題及能自己解決問題，鍛煉學習能自主的學習能力。

　　【交流評析】

　　一是課堂容量適中，二是實例很好，接近生活，學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處，教學設備很完善，老師也能很熟練的應用。

不等關系與不等式教案2

　　一、教學目標

　　1.通過具體問題情境，讓學生感受到現(xiàn)實生活中存在著大量的不等關系；

　　2.通過了解一些不等式（組）產(chǎn)生的實際背景的前提下，學習不等式的相關內(nèi)容；

　　3.理解比較兩個實數(shù)（代數(shù)式）大小的數(shù)學思維過程.

　　二、教學重點：

　　用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題.理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值.

　　三、教學難點：

　　使用不等式（組）正確表示出不等關系.四、教學過程：

　　（一）導入課題

　　現(xiàn)實世界和生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系我們知道，兩點之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，等等.人們還經(jīng)常用長與短，高與矮，輕與重，大與小，不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.在數(shù)學中，我們用不等式來表示這樣的不等關系.

　　提問：

　　1.“數(shù)量”與“數(shù)量”之間存在哪幾種關系？(大于、等于、小于).2.現(xiàn)實生活中，人們是如何描述“不等關系”的呢？（用不等式描述）引入知識點：

　　1.不等式的定義：用不等號、≤、≥、≠表示不等關系的式子叫不等式.2.不等式ab的含義.不等式ab應讀作“a大于或者等于b”，其含義是指“或者a>b，或者a=b”，等價于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一個正確，則ab正確.3.實數(shù)比較大小的依據(jù)與方法.

　　（1）如果ab是正數(shù)，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是負數(shù)，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab

　　（二）基礎練習

　　1.用不等式表示下面的不等關系：

　　（1）a與b的和是非負數(shù)；

　　（2）某公路立交橋對通過車輛的高度h“限高4m”；解：

　　（1）ab0；

　　（2）h4.2.有一個兩位數(shù)大于50而小于60，其個位數(shù)字比十位數(shù)字大2.試用

　　不等式表示上述關系（用a和b分別表示這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字）.解：由題意知5010ab60,5010ab60,5011a260

　　ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比較（a+3）（a-5）與（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7

　　（三）提升訓練

　　1.比較x23與3x的大小，其中xR.

　　222233333解：x33xx3x3x3x3x

　　24422220，x233x.方法總結：兩個實數(shù)比較大小，通常用作差法來進行，其一般步驟是：

　　第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將差化積；第三步：定號.最后得出結論.

　　2.小明帶了20元錢去超市買筆記本和鋼筆.已知筆記本每本2元，鋼筆每枝5元.設他所能買的筆記本和鋼筆的數(shù)量分別為x，y，則x，2x5y20,y應滿足關系式xN,

　　yN.3.一個盒中紅、白、黑三種球分別有x個、y個、z個，黑球個數(shù)至少是白球個數(shù)的一半，至多是紅球的，白球與黑球的個數(shù)之和至少

　　為55，使用不等式將題中的不等關系表示出來（x,y,zN*）.yxz,解：32

　　yz55.

　　（四）課后鞏固

　　p74練習題：1,2.p75習題3.1 A組：1,2. 4

不等關系與不等式教案3

　　（一）教學目標

　　1．知識與技能:使學生感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，在學生了解了一些不等式（組）產(chǎn)生的實際背景的前提下，學習不等式的有關內(nèi)容。

　　2.過程與方法:以問題方式代替例題，學習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關基本性質研究不等關系；

　　3．情態(tài)與價值：通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問題情境、實際背景的的設置，通過學生對問題的探究思考，廣泛參與，改變學生學習方式，提高學習質量。

　　（二）教學重、難點

　　重點：用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，并用不等式（組）研究含有不等關系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。

　　難點：用不等式（組）正確表示出不等關系。

　　（三）教學設想

　　[創(chuàng)設問題情境]

　　問題1：設點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則d≤。

　　問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？

　　分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元。那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式≥20

　　問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？

　　分析：假設截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根..

　　根據(jù)題意，應有如下的不等關系：

　　（1）解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；

　　（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；

　　（3）解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負。

　　由以上不等關系，可得不等式組：

　　[練習]第82頁，第1、2題。

　　[知識拓展]

　　設問：等式性質中：等式兩邊加（減）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等。不等式是否也有類似的性質呢？

　　從實數(shù)的基本性質出發(fā)，可以證明下列常用的不等式的基本性質：

　　（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

　　證明：

　　例1講解（第82頁）

　　[練習]第82頁，第3題。

　　[思考]：利用以上基本性質，證明不等式的下列性質：

　　[小結]：1.現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系；

　　2.利用不等式的有關基本性質研究不等關系；

　　[作業(yè)]：習題3.1（第83頁）：（A組）4、5；（B組）2.

不等關系與不等式教案4

　　教學分析

　　本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中，將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

　　通過本節(jié)課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.

　　在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

　　在本節(jié)教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.

　　三維目標

　　1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.

　　2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.

　　3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.

　　重點難點

　　教學重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍.

　　教學難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小.

　　課時安排

　　1課時

　　教學過程

　　導入新課

　　思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課.

　　思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關系的相關素材，讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?

　　2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?

　　3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?

　　4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?

　　活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調(diào)的是關系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關系，可用“a>b”“a

　　教師與學生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內(nèi)容.

　　實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.

　　實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的'左邊，則xA

　　實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.

　　實例4：兩點之間線段最短.

　　實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

　　實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.

　　實例7：某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.

　　教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來說，能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

　　教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.

　　實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.

　　對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論.

　　討論結果：

　　(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.

　　(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

　　應用示例

　　例1(教材本節(jié)例1和例2)

　　活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.

　　點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應讓學生熟練掌握.

　　變式訓練

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是( )

　　A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

　　(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4與4a3(a-b).

　　活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

　　∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

　　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　　∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，

　　又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

　　∴a4-b4<4a3(a-b).

　　點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.

　　變式訓練

　　已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.

　　活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系.

　　解：xy-1=x-yy.

　　∵x>y，∴x-y>0.

　　當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

　　當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

　　點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.

　　例3建筑設計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.

　　活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.

　　解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a

　　由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

　　因此a+mb+m>ab≥10%.

　　所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.

　　點評：一般地，設a、b為正實數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.

　　變式訓練

　　已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )

　　A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

　　C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

　　答案：A

　　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　　∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.

　　又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　　知能訓練

　　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.

　　答案：

　　1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，

　　③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

　　∴只有①恒成立.

　　2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

　　所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　　課堂小結

　　1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結，從實數(shù)的基本性質的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.

　　2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.

　　作業(yè)

　　習題3—1A組3;習題3—1B組2.

　　設計感想

　　1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們：課堂上應根據(jù)具體情況，選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.

　　2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產(chǎn)生負面影響.

　　3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數(shù)學教師直面的重要課題，也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.

　　備課資料

　　備用習題

　　1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.

　　2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　　3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .

　　4.若x

　　5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.

　　參考答案：

　　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　　=1>0，

　　∴(x-3)2>(x-2)(x-4).