反比例函數的教學設計
知識技能目標
1.理解反比例函數的圖象是雙曲線,利用描點法畫出反比例函數的圖象,說出它的性質;
2.利用反比例函數的圖象解決有關問題.
過程性目標
1.經歷對反比例函數圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質;
2.探索反比例函數的圖象的性質,體會用數形結合思想解數學問題.
教學過程
一、創設情境
上節的練習中，我們畫出了問題1中函數的圖象，發現它并不是直線.那么它是怎么樣的曲線呢?本節課，我們就來討論一般的反比例函數(k是常數，k≠0)的圖象，探究它有什么性質.
二、探究歸納
1.畫出函數的圖象.
分析畫出函數圖象一般分為列表、描點、連線三個步驟，在反比例函數中自變量x≠0.
解1.列表：這個函數中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數，列出x與y的對應值：
2.描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出在京各點點(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.
3.連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支;用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支.這兩個分支合起來，就是反比例函數的圖象.
上述圖象，通常稱為雙曲線(hyperbola).
提問這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎?為什么?
學生試一試：畫出反比例函數的圖象(學生動手畫反比函數圖象，進一步掌握畫函數圖象的.步驟).
學生討論、交流以下問題，并將討論、交流的結果回答問題.
1.這個函數的圖象在哪兩個象限?和函數的圖象有什么不同?
2.反比例函數(k≠0)的圖象在哪兩個象限內?由什么確定?
3.聯系一次函數的性質，你能否總結出反比例函數中隨著自變量x的增加，函數y將怎樣變化?有什么規律?
反比例函數有下列性質：
(1)當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少;
(2)當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加.
注1.雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點;
2.雙曲線的兩個分支關于原點成中心對稱.
以上兩點性質在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義?
在問題1中反映了汽車比自行車的速度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮上的時間少.
在問題2中反映了在面積一定的情況下,飼養場的一邊越長,另一邊越小.
三、實踐應用
例1若反比例函數的圖象在第二、四象限，求m的值.
分析由反比例函數的定義可知：,又由于圖象在二、四象限，所以m+1<0，由這兩個條件可解出m的值.
解由題意，得解得.
例2已知反比例函數(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，求一次函數y=kx-k的圖象經過的象限.
分析由于反比例函數(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，因此k<0，而一次函數y=kx-k中，k<0，可知，圖象過二、四象限，又-k>0，所以直線與y軸的交點在x軸的上方.
解因為反比例函數(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，所以k<0，所以一次函數y=kx-k的圖象經過一、二、四象限.
例3已知反比例函數的圖象過點(1,-2).
(1)求這個函數的解析式，并畫出圖象;
(2)若點A(-5,m)在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上?
分析(1)反比例函數的圖象過點(1,-2)，即當x=1時，y=-2.由待定系數法可求出反比例函數解析式;再根據解析式，通過列表、描點、連線可畫出反比例函數的圖象;
(2)由點A在反比例函數的圖象上，易求出m的值，再驗證點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否在圖象上.
解(1)設：反比例函數的解析式為：(k≠0).
而反比例函數的圖象過點(1,-2)，即當x=1時，y=-2.
所以，k=-2.
即反比例函數的解析式為：.
(2)點A(-5,m)在反比例函數圖象上，所以，
點A的坐標為.
點A關于x軸的對稱點不在這個圖象上;
點A關于y軸的對稱點不在這個圖象上;
點A關于原點的對稱點在這個圖象上;
例4已知函數為反比例函數.
(1)求m的值;
(2)它的圖象在第幾象限內?在各象限內，y隨x的增大如何變化?
(3)當-3≤x≤時，求此函數的最大值和最小值.
解(1)由反比例函數的定義可知：解得，m=-2.
(2)因為-2<0，所以反比例函數的圖象在第二、四象限內，在各象限內，y隨x的增大而增大.
(3)因為在第個象限內，y隨x的增大而增大，
所以當x=時，y最大值=;
當x=-3時，y最小值=.
所以當-3≤x≤時，此函數的最大值為8，最小值為.
例5一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米.
(1)寫出用高表示長的函數關系式;
(2)寫出自變量x的取值范圍;
(3)畫出函數的圖象.
解(1)因為100=5xy,所以.
(2)x>0.
(3)圖象如下：
說明由于自變量x>0,所以畫出的反比例函數的圖象只是位于第一象限內的一個分支.
四、交流反思
本節課學習了畫反比例函數的圖象和探討了反比例函數的性質.
1.反比例函數的圖象是雙曲線(hyperbola).
2.反比例函數有如下性質：
(1)當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少;
(2)當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加.
五、檢測反饋
1.在同一直角坐標系中畫出下列函數的圖象：
(1);(2).
2.已知y是x的反比例函數，且當x=3時，y=8,求：
(1)y和x的函數關系式;
(2)當時，y的值;
(3)當x取何值時，?
3.若反比例函數的圖象在所在象限內，y隨x的增大而增大，求n的值.
4.已知反比例函數經過點A(2,-m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值;
(2)若圖象上有兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1<0<x2，試比較y1和y2的大小.
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