變化中的三角形導學案課件
●教學目標
（一）教學知識點
1.經歷探索某些圖形中變量之間的關系的過程，進一步體驗一個變量的變化對另一個變量的影響，發展符號感.
2.能根據具體情況，用關系式表示某些變量之間的關系.
3.能根據關系式求值，初步體會自變量和因變量的數值對應關系.
（二）能力訓練要求
1.發展符號感和抽象思維能力.
2.發展有條理的思考和表達能力，用變化的思想研究自變量和因變量的關系.
（三）情感與價值觀要求
繼續體驗從運動變化的角度認識數學對象的過程，發展對數學的認識.
●教學重點
1.列關系式表示兩個變量的關系.
2.根據圖形的面積公式或體積公式來求兩個變量之間的關系式，會利用關系式根據任何一個自變量的值，求出相應因變量的值.
●教學難點
將具體問題抽象成數學問題并將它用關系式表示出來.
●教學方法
啟發——自主探究相結合
在教師的啟發和學生已有基礎知識下，鼓勵他們實踐、探索變化過程中的變量關系、數量關系，體會自變量和因變量的依存關系，借助關系式表示變量之間的關系.
●教具準備
課件演示一：三角形的頂點C沿底邊所在直線向點B運動；
課件演示二：圓錐的底面半徑由小到大的變化；
課件演示三：圓錐的高由小到大的變化.
●教學過程
Ⅰ.創設情景，引入新課
［師］我們先來看下面的問題：
1.（1）如果正方形的邊長為a，則正方形的周長C=________;面積S=________；
（2）圓的半徑為r,則圓的面積S=________;
（3）三角形的一邊為a，這邊上的高為h，則三角形的面積S=________；
（4）梯形的上底、下底分別為a、b,高為h，則梯形的面積S=________;
（5）圓錐的底面的半徑為r,高為h，則圓錐的體積V=________;
（6）圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的體積V=________.
2.填寫下表并回答問題：
n 1 2 3 4 5 6 7
m 4 5 6 7 8 9 10
（1）表格反映的是哪兩個變量的關系？誰是自變量？誰是因變量？
（2）根據表格中的數據，說一說m是怎樣隨n而變化的？
［生］1.（1）C=4a,S=a2;（2）S=πr2;（3）S= ah;（4）S= （a+b）h;（5）V= πr2?h;（6）V=πr2?h.
2.（1）表格中反映的是m和n這兩個變量的關系，其中n是自變量，m是因變量.
（2）m隨n的增大而逐漸增大.
［師］在第2題中，我們借助于表格，反映了兩個變量的關系.我們還能不能借助于其他的形式來反映兩個變量m和n的關系呢？
［生］從表格中我發現有一個規律，每一個m的值都比對應的n的值大3.因此用等式m=n+3可以反映兩個變量m,n的關系.
［師］真棒！以前我們學習過的一元一次方程是含有未知數的等式，如今我們又要用等式來表示兩個變量的關系，你們認同嗎？
［生］認同！
［師］很好.我們在這里就把m=n+3這個等式叫做m隨n變化的關系式.
Ⅱ.講授新課
——根據具體情況，用關系式表示某些變量之間的關系.
1.變化中的三角形
看一看：課件演示一
看圖回答下列問題：
圖6－2中的三角形ABC底邊BC上的高是6厘米，當三角形的頂點C沿著底邊所在直線向B點運動時，三角形的面積發生了變化.
（1）在這個變化過程中，自變量、因變量分別是什么？
（2）如果三角形的底邊長為x（厘米），那么三角形的面積y（厘米2）可以表示為________.
（3）當底邊長從12厘米變化到3厘米時，三角形的面積從________厘米2變化到________厘米2.
圖6－2
［師］從上面的課件演示過程來回答上面的問題.
［生］（1）自變量是△ABC的底邊BC的長，因變量是△ABC的面積.
［生］（1）中的自變量也可以是∠ACB.
（2）y=3x
（3）當底邊長是12厘米時，y= ×12×6=36（平方厘米）；當底邊長是3厘米時，y= ×3×6=9（平方厘米）.因此當底邊長從12厘米變化到3厘米時，三角形的面積從36厘米2變化到9厘米2.
［師］從同學們的回答中可以看到y=3x表示了三角形的底邊長x和面積y之間的關系，它是變量y隨變量x變化的關系式.因此，關系式是我們表示變量之間關系的又一種方法.大家可以比較一下這兩種表示變量關系的方法——表格法和關系式法.
（讓同學們與同伴交流，教師可傾聽一下同學們在下面的說法）.
［生］用表格法表示變量之間的關系，只有自變量和因變量對應的的有限個值，但較直觀.而關系式表示變量之間的關系，根據自變量的任何一個值，便可求出相應的因變量的值.
［師］同學的分析很精彩.同學們還記得上學期見過的“數值轉換機”嗎？看圖6－3：直觀地表示了自變量和因變量的數值對應關系，即“輸入”一個x的值就可以“輸出”一個y的值.例如：輸入x=2,則就可輸出y=3×2=6.
圖6－3
2.變化中的圓錐
做一做：課件演示二
如圖6－4，圓錐的高是4厘米，當圓錐的底面半徑由小到大變化時，圓錐的體積也隨之發生了變化.
（1）在這個變化過程中，自變量和因變量各是什么？
（2）如果圓錐底面半徑為r（厘米），那么圓錐的體積V（厘米3）與r的.關系式為________.
（3）當底面半徑由1厘米變化到10厘米時，圓錐的體積由________厘米3變化到________厘米3.
圖6－4
［師］根據課件演示回答上述問題.
［生］（1）自變量是圓錐的底面半徑，因變量是圓錐的體積；
（2）V= πr2;
（3）當底面半徑r由1厘米→10厘米時，圓錐的體積V由 π厘米3→ π厘米3.
做一做：課件演示三
看圖回答下列問題:
如圖6－5，圓錐的底面半徑是2厘米，當圓錐的高由小到大變化時，圓錐的體積也隨之發生了變化.
（1）在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？
（2）如果圓錐的高為h（厘米），那么圓錐的體積V（厘米3）與h的關系式為________.
（3）當高由1厘米變化到10厘米時，圓錐的體積由_______厘米3變化到_______厘米3.
圖6－5
［生］（1）自變量是圓錐的高，因變量是圓錐的體積；
（2）V= πh;
（3）當h由1厘米→10厘米時，圓錐的體積是由 厘米3→ 厘米3.
［師］在課件演示二中，我們知道當底面半徑即自變量r由1厘米→10厘米時，因變量V由 π厘米3→ π厘米3；而在課件演示三中，當自變量h也是由1厘米→10厘米時，因變量V卻是由 π厘米3→ π厘米3.為什么呢？
［生］這是由于它們的關系式不同.r與V的關系式是V= πr2;而h與V的關系式是V= πh.
Ⅲ.課堂練習
1.隨堂練習（課本P169第1題）
在地球某地，溫度T（℃）與高度d（m）的關系可以近似地用T=10－ 來表示.根據這個關系式，當d的值分別是0，200，400，600，800，1000時，計算相應的T值，并用表格表示所得結果.
圖6－6
［分析］本題的目的是學生進一步認識現實生活中存在的變量之間的關系，體會自變量和因變量數值之間的對應關系.在解決問題的過程中，學生可利用計算器，并保留兩位小數.
解：計算出相應的T的值填入下表：
高度d/m 0 200 400 600 800 1000
溫度T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33
2.補充練習
圓柱的高是10厘米，圓柱的底面半徑為R厘米，圓柱的側面展開圖的面積為S平方厘米.
（1）寫出圓柱的側面展開圖的面積S與圓柱底面半徑R之間的關系式.
（2）用表格表示R從1厘米到10厘米（每一次增加1厘米）時，S相應的值.
（3）R每增加1厘米，S如何變化？
解：（1）S=20πR;
（2）表格如下
底面半徑R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
側面積S 20π 40π 60π 80π 100π 120π 140π 160π 180π 200π
（3）R每增加1厘米，S增加20π厘米2.
Ⅳ.課時小結
［師］這節課，同學們有何體會和收獲呢？
［生］這節課，我們研究了某些圖形中變量之間的關系，進一步體驗一個變量的變化對另一個變量的影響.
［生］我們知道了變量之間的關系除了可以用表格表示外，還可以用關系式，并且初步體會了自變量和因變量的數值對應關系.
［生］課件演示使我們感受到學習數學的興趣.
［生］用數學符號能表示現實世界中的一些規律，能用數學的角度去看世界.
［師］看來，同學們的收獲還真不小！祝你們生活的快樂！
Ⅴ.課后作業
1.課本P169,讀一讀，去體會變量與變量之間的相互依賴關系在生活中廣泛存在.在這個問題中，告訴我們隨著地球內部厚度的增加，溫度也在發生著變化.
2.課本P1701、2.
Ⅵ.活動與探究
我省是水資源比較貧乏的省份之一，為了加強公民的節水意識，合理利用水資源，各地采用價格調控等手段達到節約用水的目的.某市規定如下用水收費標準：每戶每月的用水不超過6立方米時，水費按每立方米a元收費；超過6立方米時，不超過的部分每立方米仍按a元收費，超過的部分每立方米按c元收費.該市某戶今年3、4月份的用水量和水費如下表所示：
月份 用水量（m3） 水費（元）
3 5 7.5
4 9 27
設某戶該月用水量為x（立方米），應交水費y（元）.
（1）求a、c的值，并寫出用水不超過6立方米和超過6立方米時，y與x之間的關系式；
（2）若該戶5月份的用水量為8立方米，求該戶5月份的水費是多少元？
［過程］該題結合生活實際，立意新穎，可以培養學生節約用水的社會意識.
在已知自變量和因變量的數值對應關系及根據題意，由表格讀取信息得到的用水量和水費的關系式，求a、c的值，只需利用方程的思想.同時還要有分類討論的思想去解決該問題.
［結果］（1）依照題意，有
當x≤6時，y=ax;
當x＞6時，y=6a+c（x－6）.
由已知，得7.5=5a ① 27=6a+3c ②
由①得a=1.5把a=1.5代入②得c=6，
所以y=1.5x（x≤6）;y=9+6（x－6）=6x－27（x＞6）.
（2）將x=8代入y=6x－27（x＞6）得
y=6×8－27=21（元）
所以，該戶5月份的水費是21元.
●板書設計
§6.2變化中的三角形
一、看一看
課件演示一：變化中的三角形
①關系式表示變量之間關系的又一種方法.
②根據任何一個自變量的值，利用關系式，便可求出相應的因變量的值.
二、做一做
課件演示二：高為4厘米時，圓錐的體積與底面半徑R的關系:V= πr2.
課件演示三：V= πh.
三、練習（由學生板演）
四、小結