錯位相減法畢業論文素材

錯位相減法畢業論文素材

　　導語：錯位相減法是一種常用的數列求和方法。應用于等比數列與等差數列相乘的形式。下面是小編收集整理的錯位相減法畢業論文素材，歡迎參考！

　　【錯位相減法畢業論文素材一】

　　一、問題的提出

　　a1(1-qn)我們都知道，高一課本第一冊(上)在推導等比數列前n項和公式Sn= 1-q，隨即在書中的第137頁復習參考題三B(q≠1)的過程中運用了著名的“錯位相減法”。

　　組中出現了運用該方法來解決的求和問題：6、S=1+2x+3x2+??+nxn-1。 這類數列的主要特征是：已知數列{Cn}滿足Cn=an?bn其中{an}等差，{bn}等比且公比不等于1，老師們形象地稱這類數列{Cn}為“等差乘等比型”數列。求這類數列前n項的和時通常在和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的`公比，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和，這種方法即所謂的“錯位相減法”。 而且近年來的各地乃至全國高考的試卷中頻頻出現此類型的數列的求和問題，解法當然是不變的“錯位相減法”，而且老師在平時的講題中也一再強調該類型的前n項和只能用錯位相減法來解決，似乎成了“自古華山一條道”的絕法。難道真的沒有其他的解決方法了嗎?這的確沒有讓我墨守成規，反而激起了我無限的探索欲。

　　二、特例解決帶來的啟發

　　當q≠1時等比數列{an}通項an=a1qn-1可變形為an=a1qn-1?a1-q=1(qn-1-qn) 1-q1-q

　　于是前n項和Sn=a1a[(1-q1)+(q1-q2)+?+(qn-1-qn)]=1(1-qn) 1-q1-q

　　受到上面變形的啟發，我想既然等比數列的通項可以裂成兩項的差的形式，那么公比不為1的“等差乘等比型”數列的通項如果也能裂成類似的形式，那么讓我苦思冥想的那個求和方法不就神奇的找到了嗎?在此之前，我們老師還一再強調此類數列的求和不能用裂項相消，如果這一設想成功的話，算不算是觀念和方法上的一次突破。

　　三、一個方法的發現

　　裂項求和也是數列求和中最常用的一種方法，它的本質是將數列中的每一項都化為兩項之差，并且前一項的減數恰好與后一項被減數相同，求和時中間項相抵消。

　　【錯位相減法畢業論文素材二】

　　數列求和是數列的重要內容之一，在現行高中教材中，只對等差數列和等比數列的求和公式進行了計算推導，而數列種類繁多，形式復雜，絕大多數既非等差數列又非等比數列，也就不能直接用公式來求解。很多同學遇到數列求和問題總是感到力不從心，甚至有的同學把它看作是自己的死穴，覺得即使思考也做不出來，何必耽誤時間，因此遇到這類問題就直接跳過。在這中間，錯位相減是一個比較重要的內容，也是一個及其有效的解決數列求和的簡便方法，但是由于它的計算量比較大，同時要反復列出幾個式子并且不斷求解，有的題目一眼看上去不容易找出公比，更加導致一些同學放棄或者只計算其中的一部分。實際上，通過分層次練習，總結經驗，并找到規律，這類問題的求解會變得相當的簡單。

　　一、錯位相減理論分析

　　錯位相減是高中數學教材中推導等比數列前n項和的一種思想方法，它在解決由一個等差數列和一個等比數列對應項之積所構成的數列求和，具有非常重要的意義。由于它的獨特性與實用性，并且與課本知識緊密結合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵從的思想是一種轉化的思想，經過轉化可以把它轉化成為等比問題求解。乘以相同的公比得到新式子，再同舊式子錯位相減，就得到了一個含有等比數列的等式，細心計算，便不難求解。

　　二、錯位相減題目舉例

　　首先，我們先看一道最簡單的例題，從簡單題中得到啟發。

　　例1.已知數列an=nλnλ，求數列的和。

　　解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1)λn-1+nλn，JY①

　　兩邊同時乘以λ，得

　　λTn=λ2+2λ3+…+n-1)λn+nλn+1，JY②

　　①-②，得

　　JZ1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，

　　JZ∴1-λ)Tn=SXλ1-λn)1-λSX)-nλn+1，

　　JZ∴Tn=SXλ1-λn)1-λ)2SX)-SXnλn+11-λSX).

　　這是一個最簡單的錯位相減，同時也是解決錯位相減問題的一個基礎題目。

　　下面，我們來看一道有些麻煩的題目。

　　例二.an=1-2n)2n，求Sn.

　　解：由題意知，JZan=(1-2n)2n，

　　JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，

　　即

　　DKSn=(1-2)2+(1-4)22+(1-6)23+…+(1-2n)2nDK)JY①

　　①×2得

　　DK2Sn=(1-2)22+(1-4)23+…+(3-2n)2n+(1-2n)2n+1DK)JY②

　　②-①得

　　JZSn=2+222+23+…+22n-(2n-1)2n+1

　　JZ=2+2SX4(1-2n-1)1-2SX)-(2n-1)2n+1

　　JZ=(1-n)2n+2+2n+1-6

　　例二是一個具體化的錯位相減問題，對于這些直接列出的題目，大多數的學生都可以做出來，出錯率也比較的低，但是，在如今這樣一個考驗學生綜合素質=的社會中，我們遇到的大多都是多個知識點結合的題目。下面我們通過一道高考題來進一步認識一下錯位相減。

　　例三.已知等差數列{an}的前3項和為6，前8項和為-4.

　　(1)求數列的通項公式.

　　(2)設bn=(4-an)qn-1q≠0，n∈求數列的前n項和.

　　解：(1)設{an}的公差為d，則由已知得

　　JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB)即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB)

　　解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1)=4-n.

　　(2)由(1)知，bn=nqn-1，

　　于是JZSn=1q0+2q1+3q2+…+nqn-1，

　　若q≠1，上式兩邊同時乘以q.

　　JZqSn=1q1+2q2+3q3+…+nqn-1，

　　兩式相減得：

　　JZ(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-nqn=SX1-qn1-qSX)-nqn.

　　JZ∴Sn=SX1-qn(1-q)2SX)-SXnqn1-qSX)=SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX).

　　若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1)2SX)，

　　JZ∴Sn=JB{HL2SXn(n+1)2SX)(q=1)

　　SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX)q≠1)HL)JB)

　　針對這個問題，許多同學容易忽視對于q的討論致使題目出錯。這個問題的關鍵是對于等比數列的定義的認識，若是忽視了等比數列定義中對于公比的界定，則很容易導致問題出錯。我們回顧例一可以發現，在例一中我們對公比進行了限定，因此，在下面的解題中就不需要進行討論。

　　三、方法總結

　　A.分析題型，確定類型。錯位相減問題具有很強的規律性，當然也適應特定的題目，所以，在做題之前首先需要明確題目的類型，錯位相減法是否使用。首先，確定是否為數列類型的題目;其次再確定是否為求和問題;最后，通過觀察通項的`類型，確定是否可以使用錯位相減法解決問題。錯位相減法是等差數列和等比數列的有效結合，即

　　JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn

　　其中an為等差數列，bn為等比數列。

　　B.錯位相減的做題方法

　　以例1為例，即

　　Tn=λ+2λ2+…+(n-1)λn-1+nλnJY①

　　λTn=λ2+2λ3+…+(n-1)λn+nλn+1JY②

　　(1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③

　　1.①×公比λ得②式(或乘以公比的倒數，解題方法類似);

　　2.①-②得③(③式為：留①頭，減②尾，中間對應次數相減的同系數);

　　3.③里面含有n+1項;

　　4.按照等比數列求和方法求③式的前n項的和，減去第n-1項;

　　5.③式兩邊同時除以SX1λ-1SX)得最后的結果。

　　在使用錯位相減求和時，一定要善于識別這類題目，準確的識別是正確解題的關鍵。同時要十分注意等比數列的公比為負數的情形，此外，一定要注意在書寫的時候注意將①②兩式的“錯項對齊”，即將相同冪指數的項對齊，這樣有一個式子(即式①)前面空出一項，另外一個式子(即式②)后面就會多出一項，①②兩式相減得到③式，在式③中除了第一項和最后一項，剩下的n-1項是一個等比數列。當然認真細致，悉心體會，記住規律，耐住性子也是相當重要的。

　　“知行統一”的重要性大家應該都知道，當我們記住了理論的知識，勤加練習，反復運用才會使我們事倍功半，恰巧，錯位相減正需要我們的大量練習，在不斷的練習，反復的刺激我們的記憶細胞下才有可能使我們在做題的時理論練習實際，減少出錯率。

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