中小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)探究論文
新課標認為，數(shù)學(xué)知識包含客觀的數(shù)學(xué)事實和以之為載體的主觀活動經(jīng)驗、思想方法和應(yīng)用技能[1]。數(shù)學(xué)知識并非是現(xiàn)實的拷貝，而是對現(xiàn)實（包括人類己有知識）的邏輯建構(gòu)，且往往都是看不見的。結(jié)構(gòu)決定功能，因此，我們有必要考察數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)形式。
結(jié)構(gòu)是“系統(tǒng)諸要素相對穩(wěn)定的聯(lián)系方式”。數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)就是數(shù)學(xué)知識體系中各知識點的一種相對穩(wěn)定的聯(lián)系形式。一個抽象的集合只不過是一組元素而己，無所謂結(jié)構(gòu)，一但引入了一種聯(lián)系方式，就形成了一種結(jié)構(gòu)。例如，實數(shù)集引入通常加法就形成了基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)一群。知識本身具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)形態(tài)，同時在結(jié)構(gòu)中顯現(xiàn)其特性。一方面，數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，不是各組成部分的簡單排列和組合，而是受一整套內(nèi)在規(guī)律支配，各部分以不可分割，不可簡化，互為補充的方式運作。這套規(guī)律超越并支配著知識結(jié)構(gòu)的每一種表現(xiàn)形式，決定了結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和功能，任何部分的意義由它和既定情景中其他部分之間的關(guān)系確定。例如，正數(shù)、負數(shù)和零組成實數(shù)域結(jié)構(gòu)，它受到有序性、完備性的支配，獨立存在的一個實數(shù)沒有任何實際意義。另一方面，假如離開了知識的各種表現(xiàn)結(jié)構(gòu)，知識便失去了自己存在的意義。人類對客觀世界的認識經(jīng)歷了千百萬年，歷代數(shù)學(xué)家積累下來的數(shù)學(xué)知識浩如煙海。以數(shù)學(xué)知識的組織方式為邏輯范疇，可將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)分為四種類型：邏輯結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)、教材結(jié)構(gòu)和教學(xué)結(jié)構(gòu)。下面分別闡述其對中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的作用。
1邏輯結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的基礎(chǔ)
邏輯推斷是貫穿數(shù)學(xué)知識的主線。由公理出發(fā)并嚴格按邏輯規(guī)律構(gòu)造的知識結(jié)構(gòu)就是邏輯結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)是非線性的樹狀結(jié)構(gòu)，它的根在不停地向下延伸，它的枝葉在不停地向上生長，今天己成為一棵枝繁葉茂根深的參天大樹。
數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)以《幾何原本》為典范。公理化方法加強了似乎彼此相距很遠的那些數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的聯(lián)系，把某一領(lǐng)域得出的方法（結(jié)論）應(yīng)用于與之同構(gòu)的其他領(lǐng)域，從而獲得一系列重要成果。這種結(jié)構(gòu)方法從個別推出一般，是非常經(jīng)濟的思維。公理化思想方法不僅滲透到數(shù)學(xué)的每一個分支，而且影響到其余科學(xué)領(lǐng)域，它避免了“無限向前推”的情況，把人們的目光引到向后推一今后的發(fā)展上，類似數(shù)學(xué)這樣建立起的知識體系才是科學(xué)。按解釋法，幾何公理體系和實數(shù)公理體系的無矛盾性都可歸結(jié)為自然數(shù)算法的無矛盾性，但自然數(shù)算法的無矛盾性不可能用它自己內(nèi)部形成的方法來證明，因此，數(shù)學(xué)中的公理化方法有一定的界限，數(shù)學(xué)知識的邏輯真實性也有一定的界限。于是，公理化方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位被逐漸削弱了，旨在讓學(xué)生體會公理化思想的過程。
傳統(tǒng)認為“‘數(shù)學(xué)是研宄數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“數(shù)”和“形”需要在更加廣闊的意義下去理解！布爾巴基學(xué)派認為，數(shù)學(xué)是研宄形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)能按結(jié)構(gòu)性質(zhì)來歸類和統(tǒng)一，具體地說就是，利用形式公理化方法抽象出各數(shù)學(xué)分支的各種結(jié)構(gòu)，找出各分支之間的結(jié)構(gòu)差異，從而獲得各分支之間內(nèi)在關(guān)系的清晰圖象。即用結(jié)構(gòu)的觀點來看待數(shù)學(xué)全局的每個分支。今天的數(shù)學(xué)己不再是彼此分開的章節(jié)所集合起來的一堆東西，而是一個巨大的相互聯(lián)系的結(jié)構(gòu)體系。這些結(jié)構(gòu)原來都是從三種“母結(jié)構(gòu)”一代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)一脫胎出來的。由此可以形成各種子結(jié)構(gòu)和多重結(jié)構(gòu)。例如，實數(shù)域同為上述三種結(jié)構(gòu)的多重結(jié)構(gòu)。
2認知結(jié)構(gòu)是學(xué)生學(xué)習(xí)的出發(fā)點和歸宿
所謂“認知結(jié)構(gòu)”是指學(xué)科知識的實質(zhì)性內(nèi)容在學(xué)習(xí)者頭腦中的組織結(jié)構(gòu)。這種知識結(jié)構(gòu)是由學(xué)科知識的基本概念、原理、過程、思想方法以及它們之間的關(guān)系組成。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的組織（同化）和重新組織（順應(yīng)）并形成新結(jié)構(gòu)的過程，即是一個“再創(chuàng)造”過程。任何一門學(xué)科知識的學(xué)習(xí)就是在學(xué)生的頭腦中形成一定的知識結(jié)構(gòu)。良好的認知結(jié)構(gòu)不是知識點的簡單堆積，而是經(jīng)個體理解并重新組織過的、穩(wěn)定的`、可利用的統(tǒng)一體。
兒童在入學(xué)之前很久，就因社會環(huán)境的作用而學(xué)會了數(shù)數(shù)，從而可以學(xué)會一些經(jīng)驗性知識與準則。皮亞杰以他的朋友作為結(jié)構(gòu)主義的范例：有一位數(shù)學(xué)家小時候?qū)?shù)學(xué)第一次發(fā)生興趣是因為一次偶然的游戲，他把一堆石子排成一行，發(fā)現(xiàn)無論從那端開始去數(shù)石子，石子總數(shù)都是一樣的。次序不在石子之中，正是他自己把石子排成一條線�？倲�(shù)不在石子之中，也正是他自己把它們合并在一起。石子總數(shù)表現(xiàn)了這一堆石子之間的數(shù)量關(guān)系。在這個例子中包含了數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、思想等。次序、總數(shù)等就其本身而言是沒有意義的，它的意義事實上由它和游戲中的其他因素所決定的�？傊�，任何數(shù)學(xué)事實或經(jīng)驗的意義除非它被結(jié)合到結(jié)構(gòu)（它是其中的組成部分）中去，否則便不能被人們感覺到。兒童在生活中下意識的排序、分類和玩幾何模型玩具等，是在為知識的形成提供理想的基礎(chǔ)，其可能就在構(gòu)筑日后出現(xiàn)的集合論！學(xué)齡前兒童在十分狹窄的范圍內(nèi)意識到或認識到數(shù)量、序列與拓撲。因此，我們必須讓兒童積極構(gòu)筑個人技能與算術(shù)概念及邏輯概念的基礎(chǔ)，兒童今后的全部數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)都將以此為基礎(chǔ)。
兒童在學(xué)校中主動地建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)易于學(xué)生根據(jù)特定目標生成新的知識結(jié)構(gòu)。如學(xué)習(xí)負數(shù)時，由生活中的收支盈虧問題引入，揭示盈虧的內(nèi)在聯(lián)系，理解引入負數(shù)的必然性,從而建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu),同時也是對原認知結(jié)構(gòu)的進一步認識和理解，并得到重組。如圖1表示學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認知結(jié)構(gòu)形成的一般過程：學(xué)習(xí)者首先下意識地將新知識納入原有認知結(jié)構(gòu)--同化新知識，使認知結(jié)構(gòu)的數(shù)量得到擴充，當原有認知結(jié)構(gòu)不能同化新知識時，則必須改造或創(chuàng)建新的認知結(jié)構(gòu)，才能和新知識相適應(yīng)一順應(yīng)，才能維持生物演化的平衡機制。
3教材結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了一定的社會價值標準
教材結(jié)構(gòu)是指教材要素體系的框架結(jié)構(gòu)。它反映了學(xué)習(xí)者認識客體的活動及進程。一般認為數(shù)學(xué)教材要素是知識點，而知識點由知識與技能（含事實、概念、原理、公式），過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀三大部分組成。數(shù)學(xué)教材中，由知識點構(gòu)成知識樹、知識網(wǎng)、知識塊和螺旋體等結(jié)構(gòu)，并以有利于學(xué)生建構(gòu)穩(wěn)定的、可辨的和可利用的認知結(jié)構(gòu)為首要標準。編寫教材不但要注重數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，還應(yīng)考慮表現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的符號與客觀事物的聯(lián)系，以及與人的關(guān)系，從而實現(xiàn)教材對學(xué)生的教養(yǎng)、教育和發(fā)展功能。因此,教材結(jié)構(gòu)當以一定的社會價值標準為基礎(chǔ),提出某些標準作為教材建設(shè)的理論前提，使之成為編寫教材的依據(jù)，并研宄如何才能符合這些標準。用發(fā)展的眼光來看，中小學(xué)學(xué)生應(yīng)學(xué)習(xí)將來最有價值的數(shù)學(xué)，教材就要回答“應(yīng)該學(xué)什么”的問題。由于社會的多元化，教材也具有社會多元化特點，教材的典型代表教科書也應(yīng)是多樣化的。
數(shù)學(xué)教材只是數(shù)學(xué)知識這座冰山露出水面的冰峰的一角，其顯著特點是不追求數(shù)學(xué)科學(xué)本身的完備性和覆蓋面，不要求公理體系的獨立性，此時，擴大了公理的數(shù)量，也不太要求嚴格的論證，這一點與數(shù)學(xué)史不謀而合。旦是，精確的定義、嚴密的演繹展開、幾乎沒有多余的文字敘述，用人為編造的內(nèi)容情節(jié)來呈現(xiàn)知識，還是讓學(xué)生難于理解“淡化形式，注重實質(zhì)”己經(jīng)成為共識，力求把干巴巴的、符號化的學(xué)術(shù)形式演繹體系，轉(zhuǎn)化為生動活潑、有血有肉的教育數(shù)學(xué)形態(tài)，就是為了便于學(xué)生學(xué)習(xí)。新一輪基礎(chǔ)教育課程改革理念指導(dǎo)下所開發(fā)的教材，重心己從教師如何教，轉(zhuǎn)移到學(xué)生如何使用教材上，尋求學(xué)生心理發(fā)展與數(shù)學(xué)本身發(fā)展邏輯的整合，賦予教材中數(shù)學(xué)知識更多的社會價值觀，最終使學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義何在，價值在哪兒。
4教學(xué)結(jié)構(gòu)是實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育目的的必要手段
數(shù)學(xué)教學(xué)是人類活動之一，是一種以參與者為主體，并在一定文化環(huán)境中所從事的創(chuàng)造性活動。某種教學(xué)結(jié)構(gòu)是為達到某一方面教學(xué)目的而設(shè)計的教學(xué)活動典范。在實際教學(xué)過程中,教學(xué)結(jié)構(gòu)所包含的因素由于其組合方式的不同而具有多種不同的形態(tài)，并有各自獨特的功能。盡管教學(xué)結(jié)構(gòu)種類繁多，但都主要由目的、目標、程序、策略、內(nèi)容和評價等因素組成。例如，問題情境一建立模型一解釋一應(yīng)用一拓展這種教學(xué)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義。1]講授式教學(xué)結(jié)構(gòu)包括：誘導(dǎo)學(xué)習(xí)動機一感知理解教材一鞏固知識一運用知識一檢查反饋5個基本步驟，常用于系統(tǒng)知識和技能的講授和學(xué)習(xí)。
研究數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)，就是研究數(shù)學(xué)知識構(gòu)建、傳播與吸收的過程及規(guī)律，其目的是縮短兒童認識數(shù)學(xué)知識的過程，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的真正理解，而不是簡單的會做。人邏輯成分的多少來看，至少可將數(shù)學(xué)知識分為二類：一類是常規(guī)的東西。數(shù)字名稱、線段、角、一年的月份等常識，如同“為什么汽車不靠左行駛”一樣，都是心智努力而無法發(fā)現(xiàn)的，應(yīng)該逐字逐句地教，使兒童賦予我們所用詞語的意義跟我們頭腦中所想的定義相同，只有記住才行，必要時可熟練地復(fù)述并隨時利用。另一類基于理性思考的東西則應(yīng)該去理解。如“稀稀拉拉的自然數(shù)和密密麻麻的有理數(shù)一樣多”又如：兒童在理解基數(shù)意義（指一個有限集合的整體）之前，模仿成年人，“依葫蘆畫瓢”，以“最后一個數(shù)字來回答是多少”的問題。要從本質(zhì)概念上真正掌握基數(shù)，不僅要了解最后一個數(shù)字指所有計算成分的總數(shù)，而且還要知道，它包括著按順序保留的此前的所有較小的數(shù)字。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，需要理解地掌握的數(shù)學(xué)知識愈來愈多，只有真正理解了數(shù)學(xué)知識孕含的思想方法，才能轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)能力。
知識是無法傳遞的，傳遞的只是信息。在數(shù)學(xué)課程中既有凝固的、明示的知識信息，也有流動的、隱喻的知識信息。學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中感受、體驗獲得的情感、態(tài)度與價值觀，是可學(xué)不可教的，甚至是只可意會，不可言傳的！在數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)中，主體之間多向傳遞對數(shù)學(xué)知識的認識的信息，學(xué)生由此建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。由于教學(xué)活動是多種教學(xué)結(jié)構(gòu)的有機整合，任何一種教學(xué)結(jié)構(gòu)都不是孤立存在的，教學(xué)效果也往往是多種教學(xué)結(jié)構(gòu)的綜合效應(yīng)，因此，每種教學(xué)結(jié)構(gòu)作為解決具體問題，完成目標的一種工具，需要相互配合，才能發(fā)揮各自的最佳效能。根據(jù)不同的目標、內(nèi)容、環(huán)境等，可采取不同的教學(xué)結(jié)構(gòu)。
5小結(jié)
數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)是其余結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)知識的認知結(jié)構(gòu)是學(xué)生學(xué)習(xí)的出發(fā)點和歸宿！數(shù)學(xué)知識的教材結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了社會發(fā)展的理念，由教材編寫者來實現(xiàn)，是學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的主要來源。數(shù)學(xué)知識的教學(xué)結(jié)構(gòu)是認知結(jié)構(gòu)，教材結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)等在學(xué)校教學(xué)中的集中體現(xiàn)。這幾種結(jié)構(gòu)是教師在教學(xué)設(shè)計中自覺不自覺都要考慮的。各種結(jié)構(gòu)之間相互包攝及相互嵌套，實現(xiàn)著一種跨結(jié)構(gòu)之間的交流。
數(shù)學(xué)知識的幾種結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式都不是唯一的。同一知識點在系統(tǒng)邏輯結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)、教材結(jié)構(gòu)、教學(xué)結(jié)構(gòu)中的位置是不盡相同的，正是這種差異，推動了課程改革的深入，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程成為學(xué)生個性發(fā)展發(fā)展的過程，從而每個學(xué)生都能得到充分的發(fā)展。厘清數(shù)學(xué)知識的幾種結(jié)構(gòu)，找出相應(yīng)的對策和措施，才能有的放矢，使我們的教學(xué)工作走上一個新的臺階。應(yīng)當注意的是，盡管從四個維度來考察數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，作出了劃分，但我們?nèi)猿钟幸环N“整體的”信念，其中任一維度均是全息式的，每一維的結(jié)構(gòu)與整體結(jié)構(gòu)具有“自相似性”這是現(xiàn)代教學(xué)論給我們的啟示。
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