數學隨機抽樣的測試題
一、選擇題
1.在簡單隨機抽樣中，某一個個體被抽中的可能性( ).
A.與第幾次抽樣有關，第1次抽中的可能性要大些
B.與第幾次抽樣無關，每次抽中的可能性都相等
C.與第幾次抽樣有關，最后一次抽中的可能性大些
D.與第幾次抽樣無關，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一樣
考查目的：考查簡單隨機抽樣的概念.
答案：B.
解析：不論用哪一種抽樣方法，在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的可能性都相等，等于樣本容量與總體容量的比值.
2.要從編號為1～50的50枚最新研制的某種型號的導彈中隨機抽取5枚來進行發射試驗，用系統抽樣的方法確定所選取的5枚導彈的編號可能是( ).
A.5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C.1，2，3，4，5 D.2，4，8，16，32
考查目的：考查系統抽樣的概念及其步驟.
答案：B.
解析：編號1～50的導彈抽取5枚，故將數據分5段，間隔為10，若第一段取編號為3的導彈，則后面依次是13、23、33、43.
3.(2012山東理)采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入區間的人做問卷A，編號落入區間的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數為( ).
A.7 B.9 C.10 D.15
考查目的：考查系統抽樣的概念及等差數列的項數求解問題.
答案：C.
解析：從960人中用系統抽樣抽取32人，則每隔30人抽取一人，因為第一組號碼為9，則第二組為39，公差為30，∴通項，由，即，∴以，共有人，答案選C.
二、填空題
4.下列說法正確的是 .(填上所有正確的序號)
�、倏傮w的個體數不多時宜采用簡單隨機抽樣法；
②在總體分層后的每一部分進行抽樣時，可以采用簡單隨機抽樣；
�、郯儇浬虉龅�'抓獎活動是抽簽法；
�、芟到y抽樣過程中，每個個體被抽取的可能性相等(有剔除時例外)．
考查目的：考查各種抽樣方法的定義、適用范圍及特點.
答案：①②③ 高中化學.
解析：簡單隨機抽樣有簡便易行的優點，當總體個數不多的時候攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽中，從而能保證樣本的代表性.
5.(2007全國)一個總體含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的頻率為 .
考查目的:考查簡單隨機抽樣的概念與基本特點.
答案：.
解析：每個個體被抽到的頻率都是.
6.動物園共有48 只猴子，編號依次為1，2，3，…，48，現用系統抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知編號為4，28，40的猴子在樣本中，那么還有一只猴子的編號應為 .
考查目的：考查系統抽樣定義的應用.
答案：16.
解析：系統抽樣間隔為12，而所給的編號為4，28，40，中間缺16，故還有一只猴子的編號為16.
三、解答題
7.從20名學生中抽取5名進行問卷調查，寫出抽樣過程.
考查目的：考查抽簽法的基本方法和步驟.
答案：⑴將20名學生從1到20進行編號；⑵把號碼寫在號簽上；⑶把號簽放在一個容器中，攪拌均勻后逐個抽取 5個.
解析：抽簽法也叫抓鬮法：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.
8.采用系統抽樣法從121人中抽取一個容量為12的樣本，寫出抽樣過程并求每個人被抽取的可能性大小.
考查目的：考查系統抽樣的基本方法和步驟．
答案：用系統抽樣法，要先從121中剔除1人，然后將120人分為12組，每組10人，在每組中抽1人，則不被剔除的可能性為，分組后被抽取的可能性為，∴被抽取的可能性為.
解析：分段間隔k的確定. 當總體個數N恰好是樣本容量n的整數倍時，�。蝗舨皇钦麛禃r，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數能被樣本容量n整除. 每個個體被剔除的機會相等，從而使整個抽樣過程中每個個體被抽取的機會仍然相等.
淺談用放縮法證明不等式的方法與技巧
放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法 高二。常用在多項式中“舍掉一些正（負）項”而使不等式各項之和變小（大），或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較�。┮蚴酱妗钡刃Х�，而達到其證題目的。
所謂放縮的技巧：即欲證 ，欲尋找一個（或多個）中間變量C，使 （2）
�。�3）若 （4） （5） （6） 等等。
用放縮法證明下列各題。
例1 求證： 所以左邊
例2 （2000年海南理11）若 求證： 因為 又 是增函數］，所以
例3 （2001年云南理1）求證： （因為 ）
［又因為 （放大）］，所以
例4 已知
證明：因為
例5 求證： （因為> （放大） 所以 當 時，函數 的最大值是
證明：因為原函數配方得 所以 。當 所以
例7 求證：
證明：因為 （分母有理化）
例8 （2002年貴州省理21）若
證明：因為 所以 所以
例9 已知a、b、c分別是一個三角形的三邊之長，求證： 便得
例10 （1999年湖南省理16）求證： 所以原不等式成立。
例11 求證：
例12 求證 所以左邊
注：1、放縮法的理論依據，是不等式的傳遞性，即若 則 。2、使用放縮法時，“放”、“縮”都不要過頭。3、放縮法是一種技巧性較強的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。
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