函數(shù)的奇偶性與周期性復習試題

    時間:2021-03-27 10:30:23 試題 我要投稿

    函數(shù)的奇偶性與周期性復習試題

      10.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x),當x∈時,f(x)=2x-x2.

    函數(shù)的奇偶性與周期性復習試題

      (1)求證:f(x)是周期函數(shù);

      (2)當x∈時,求f(x)的解析式;

      (3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016).

      (1)證明∵f(x+2)=-f(x),

      ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

      ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).

      (2)解∵x∈,∴-x∈,

      ∴4-x∈,

      ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,

      又f(4-x)=f(-x)=-f(x),

      ∴-f(x)=-x2+6x-8,

      即f(x)=x2-6x+8,x∈.

      (3)解∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.

      又f(x)是周期為4的`周期函數(shù),

      ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.

      ∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016)

      =f(0)=0.

      15.函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

      (1)求f(1)的值;

      (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論;

      (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.

      解(1)∵對于任意x1,x2∈D,

      有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),

      ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

      (2)f(x)為偶函數(shù).

      證明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f (-1),

      ∴f(-1)=2(1)f(1)=0.

      令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),

      ∴f(-x)=f(x),

      ∴f(x)為偶函數(shù).

      (3)依題設(shè)有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

      由(2)知,f(x)是偶函數(shù),

      ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)

      又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

      ∴0<|x-1|<16,

      解之得-15

      ∴x的取值范圍是{x|-15

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