函數的簡單性質練習題
在初中，我們學習了二次函數，通過二次函數的圖象，知道x在某個范圍內取值時，y的值隨著x的增加而增加(或減小)，在高中，我們學習了函數的符號語言，那么如何用符號語言來定量地描述函數這一增減性質呢？
1．若函數f(x)＝x3(xR)，則函數y＝f(－x)在其定義域上是()
A．單調遞減的偶函數
B．單調遞減的奇函數
C．單調遞增的偶函數
D．單調遞增的奇函數
解析：f(－x)＝(－x)3＝－x3在R上單調遞減，且是奇函數．
答案：B
2．函數y＝1x＋2的大致圖象只能是()
答案：B
3．若函數f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的.定義域均為R，則()
A．f(x)與g(x)均為偶函數
B．f(x)為偶函數，g(x)為奇函數
C．f(x)與g(x)均為奇函數
D．f(x)為奇函數，g(x)為偶函數
解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．
f(x)為偶函數，g(x)為奇函數．
答案：B
4．函數f(x)＝4x＋12x的圖象()
A．關于原點對稱
B．關于直線y＝x對稱
C．關于x軸對稱
D．關于y軸對稱
解析：∵f(－x)＝4－x＋12－x＝1＋4x2x＝f(x)．
f(x)是偶函數，其圖象關于y軸對稱．
答案：D
5．如果f(x)是定義在R上的偶函數，它在[0，＋)上是減函數，那么下述式子中正確的是()
A．f－34f(a2－a＋1)
B．f－34f(a2－a＋1)
C．f－34＝f(a2－a＋1)
D．以上關系均不確定
答案：B
6．函數①y＝|x|；②y＝|x|x；③y＝x2|x|；④y＝x＋x|x|在(－，0)上為增函數的有______(填序號)．
答案：④
7．已知f(x)是奇函數，且x0時，f(x)＝x(1－x)，則x0時，f(x)＝________.
解析：當x0時，－x0，又∵f(x)是奇函數，
f(x)＝－f(－x)＝－[－x(1＋x)]＝x(1＋x)．
答案：x(1＋x)
8．若函數f(x)＝x2x＋1x－a為奇函數，則a＝________.
解析：a＝1時，f(x)不是奇函數，f(1)有意義，由f(－1)＝－f(1)可解得a＝12.
答案：12
9．已知函數f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函數，則f(x)的單調遞增區間是________．
解析：∵f(x)為偶函數圖象關于y軸對稱，即k＝1，此時f(x)＝－x2＋3，其單調遞增區間為(－，0)．
答案：(－，0)
10．判斷函數f(x)＝x2－2x＋3，x＞0，0，x＝0，－x2－2x－3，x＜0的奇偶性．
解析：f(x)的定義域為R，關于原點對稱．
①當x＝0時，－x＝0，
f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0，
f(－x)＝－f(x)；
②當x＞0時，－x＜0，
f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)；
③當x＜0時，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．
由①②③可知，當xR時，都有f(－x)＝－f(x)，
f(x)為奇函數．
能力提升
11．定義在R上的奇函數f(x)和偶函數g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0且a1)，若g(2)＝a，則f(2)＝()
A．2 B.174 C.154 D．a2
解析：由條件得f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，f(－2)＋g(－2)＝a－2－a2＋2即－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，兩式相加得g(2)＝2.
a＝2，f(2)＝a2－a－2＝4－14＝154.
答案：C
12．設f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是()
A．f(x)＋gx是偶函數
B．f(x)－gx是奇函數
C.fx＋g(x)是偶函數
D.fx－g(x)是奇函數
解析：∵f(x)和|g(x)|均為偶函數，
f(x)＋|g(x)|為偶函數．
答案：A
13．已知函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，且知其定義域為[a－1,2a]，則()
A．a＝3，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝0 D．a＝13，b＝0
解析：∵b＝0；又a－1＝－2a，a＝13.
答案：D
14．如果奇函數f(x)在[3,7]上是增函數，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是()
A．增函數，最小值為－5
B．增函數，最大值為－5
C．減函數，最小值為－5
D．減函數，最大值為－5
解析：奇函數在定義域及對應定義域上的單調性一致，f(－3)＝－f(3)＝－5.
答案：B
15．函數y＝－x2＋|x|的單調減區間為________．
解析：作出函數的圖象．
答案：－12，0和12，＋
特別提醒：切忌寫成－12，012，＋
16．給定四個函數：①y＝x3＋3x；②y＝1x(x＞0)；③y＝x3＋1；④y＝x2＋1x.其中是奇函數的有________(填序號)．
答案：①④
17．定義在(－1,1)上的函數f(x)滿足：對任意x，y(－1,1)，都有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，求證：f(x)為奇函數．
證明：由x＝y＝0得f(0)＋f(0)＝f0＋01＋00＝f(0)，
f(0)＝0，任取x(－1,1)，則－x(－1,1)f(x)＋f(－x)＝fx－x1＋－xx＝f(0)＝0.
f(－x)＝－f(x)，
f(x)在(－1,1)上是奇函數．
18．設定義在[－2,2]上的偶函數f(x)在區間[0,2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，求實數m的取值范圍．
解析：∵f(x)在[－2,2]上為偶函數，
|1－m|＞|m|，|1－m|2，－1m＜12.
實數m的取值范圍是－1，12.
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