數學高考一輪復習基本不等式專項練習及答案

時間：2021-06-18 16:08:27 試題我要投稿

　　1.若xy0，則對 xy+yx說法正確的是()

數學高考一輪復習基本不等式專項練習及答案

　　A.有最大值-2 B.有最小值2

　　C.無最大值和最小值 D.無法確定

　　答案：B

　　2.設x，y滿足x+y=40且x，y都是正整數，則xy的最大值是()

　　A.400 B.100

　　C.40 D.20

　　答案：A

　　3.已知x2，則當x=____時，x+4x有最小值____.

　　答案：2 4

　　4.已知f(x)=12x+4x.

　　(1)當x0時，求f(x)的最小值;

　　(2)當x0 時，求f(x)的最大值.

　　解：(1)∵x0，12x，4x0.

　　12x+4x212x4x=83.

　　當且僅當12x=4x，即x=3時取最小值83，

　　當x0時，f(x)的最小值為83.

　　(2)∵x0，-x0.

　　則-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，

　　當且僅當12-x=-4x時，即x=-3時取等號.

　　當x0時，f(x)的最大值為-83.

　　一、選擇題

　　1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的'是()

　　A.x+12x B.x2-1+1x2-1

　　C.2x+2-x D.x(1-x)

　　答案：C

　　2.函數y=3x2+6x2+1的最小值是()

　　A.32-3 B.-3

　　C.62 D.62-3

　　解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.

　　3.已知m、nR，mn=100，則m2+n2的最小值是()

　　A.200 B.100

　　C.50 D.20

　　解析：選A.m2+n22mn=200，當且僅當m=n時等號成立.

　　4.給出下面四個推導過程：

　　①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba

　　②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx

　　③∵aR，a0，4a+a 24a

　　④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.

　　其中正確的推導過程為()

　　A.①② B.②③

　　C.③④ D.①④

　　解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.

　　①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確;

　　②雖然x，y(0，+)，但當x(0,1)時，lgx是負數，y(0,1)時，lgy是負數，②的推導過程是錯誤的;

　　③∵aR，不符合基本不等式的條件，

　　4a+a24aa=4是錯誤的;

　　④由xy0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy+yx提出負號后，(-xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確.

　　5.已知a0，b0，則1a+1b+2ab的最小值是()

　　A.2 B.22

　　C.4 D.5

　　解析：選C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.當且僅當a=bab=1時，等號成立，即a=b=1時，不等式取得最小值4.

　　6.已知x、y均為正數，xy=8x+2y，則xy有()

　　A.最大值64 B.最大值164

　　C.最小值64 D.最小值164

　　解析：選C.∵x、y均為正數，

　　xy=8x+2y28x2y=8xy，

　　當且僅當8x=2y時等號成立.

　　xy64.

　　二、填空題

　　7.函數y=x+1x+1(x0)的最小值為________.

　　答案：1

　　8.若x0，y0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.

　　解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.

　　答案：大 116

　　9.(2010年高考山東卷)已知x，yR+，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為________.

　　解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.

　　當且僅當x3=y4時取等號.

　　答案：3

　　三、解答題

　　10.(1)設x-1，求函數y=x+4x+1+6的最小值;

　　(2)求函數y=x2+8x-1(x1)的最值.

　　解：(1)∵x-1，x+10.

　　y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5

　　2 x+14x+1+5=9，

　　當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取等號.

　　x=1時，函數的最小值是9.

　　(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1

　　=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.

　　(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.

　　當且僅當x-1=9x-1，即x=4時等號成立，

　　y有最小值8.

　　11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

　　證明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，

　　1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，

　　同理1b-12acb，1c-12abc，

　　以上三個不等式兩邊分別相乘得

　　(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.

　　當且僅當a=b=c時取等號.

　　12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).

　　問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.

　　解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米.

　　總造價f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200

　　=800(x+225x)+12000

　　1600x225x+12000

　　=36000(元)

　　當且僅當x=225x(x0)，

　　即x=15時等號成立.

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