初中數學函數知識點總結

    時間:2024-04-08 11:41:54 文圣 知識點總結 我要投稿

    初中數學函數知識點總結

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    初中數學函數知識點總結

      誘導公式的本質

      所謂三角函數誘導公式,就是將角n(/2)的三角函數轉化為角的三角函數。

      常用的誘導公式

      公式一: 設為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:

      sin(2k)=sin kz

      cos(2k)=cos kz

      tan(2k)=tan kz

      cot(2k)=cot kz

      公式二: 設為任意角,的三角函數值與的三角函數值之間的關系:

      sin()=-sin

      cos()=-cos

      tan()=tan

      cot()=cot

      公式三: 任意角與 -的三角函數值之間的關系:

      sin(-)=-sin

      cos(-)=cos

      tan(-)=-tan

      cot(-)=-cot

      公式四: 利用公式二和公式三可以得到與的三角函數值之間的關系:

      sin()=sin

      cos()=-cos

      tan()=-tan

      cot()=-cot

      三角和的公式

      sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

      cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

      tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

      倍角公式

      tan2A = 2tanA/(1-tan2 A)

      Sin2A=2SinA?CosA

      Cos2A = Cos^2 A--Sin2 A =2Cos2 A-1 =1-2sin^2 A

      三倍角公式

      sin3A = 3sinA-4(sinA)3;

      cos3A = 4(cosA)3 -3cosA

      tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a)

      常量和變量

      在某變化過程中可以取不同數值的量,叫做變量.在某變化過程中保持同一數值的量或數,叫常量或常數.

      函數

      設在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x在某一范圍的每一個值,y都有唯一的值與它對應,那么就說x是自變量,y是x的函數.

      自變量的取值范圍

      (1)整式:自變量取一切實數.

      (2)分式:分母不為零.

      (3)偶次方根:被開方數為非負數.

      (4)零指數與負整數指數冪:底數不為零.

      函數值

      對于自變量在取值范圍內的一個確定的值,如當x=a時,函數有唯一確定的對應值,這個對應值,叫做x=a時的函數值.

      函數的表示法

      (1)解析法;(2)列表法;(3)圖象法.

      函數的圖象

      把自變量x的一個值和函數y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標,可以在平面直角坐標系內描出一個點,所有這些點的集合,叫做這個函數的圖象.由函數解析式畫函數圖象的步驟:

      (1)寫出函數解析式及自變量的取值范圍;

      (2)列表:列表給出自變量與函數的一些對應值;

      (3)描點:以表中對應值為坐標,在坐標平面內描出相應的點;

      (4)連線:用平滑曲線,按照自變量由小到大的順序,把所描各點連接起來.

      一次函數

      (1)一次函數

      如果y=kx+b(k、b是常數,k≠0),那么y叫做x的一次函數.

      特別地,當b=0時,一次函數y=kx+b成為y=kx(k是常數,k≠0),這時,y叫做x的正比例函數.

      (2)一次函數的圖象

      一次函數y=kx+b的圖象是一條經過(0,b)點和點的直線.特別地,正比例函數圖象是一條經過原點的直線.需要說明的是,在平面直角坐標系中,“直線”并不等價于“一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象”,因為還有直線y=m(此時k=0)和直線x=n(此時k不存在),它們不是一次函數圖象.

      (3)一次函數的性質

      當k>0時,y隨x的增大而增大;當k<0時,y隨x的增大而減小.直線y=kx+b與y軸的交點坐標為(0,b),與x軸的交點坐標為.

      (4)用函數觀點看方程(組)與不等式

      ①任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0(a,b為常數,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以轉化為:一次函數y=kx+b(k,b為常數,k≠0),當y=0時,求相應的自變量的值,從圖象上看,相當于已知直線y=kx+b,確定它與x軸交點的橫坐標.

      ②二元一次方程組對應兩個一次函數,于是也對應兩條直線,從“數”的角度看,解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數值相等,以及這兩個函數值是何值;從“形”的角度看,解方程組相當于確定兩條直線的交點的坐標.

      ③任何一元一次不等式都可以轉化ax+b>0或ax+b<0(a、b為常數,a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做:當一次函數值大于0或小于0時,求自變量相應的取值范圍.

      二次函數基本知識點

      1.定義與定義表達式

      一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:y=ax^2+bx+c

      (a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a

      二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

      2.二次函數的三種表達式

      一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

      頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]

      交點式:y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點A(x,0)和B(x,0)的拋物線]

      注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:

      h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

      拋物線的性質

      1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

      x=-b/2a。

      對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

      特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

      2.拋物線有一個頂點P,坐標為

      P[-b/2a,(4ac-b^2;)/4a]。

      當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。

      3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

      當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

      |a|越大,則拋物線的開口越小。

      4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

      當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

      當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

      一次函數與一元一次方程的關系

      一元一次方程ax+b=0(a,b為常數,且a≠0)可看作一次函數y=ax+b的函數值是0的一種特例,其解是直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標,所以解一元一次方程ax+b=0可以轉化為當一次函數y=ax+b的值為0時,求相應自變量x的值,因此可以利用圖像來解一元一次方程。

      求直線y=kx+b與x軸交點時,可令y=0,得到一元一次方程kx+b=0,解方程得x=-,則- 就是直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標。

      反過來解一元一次方程也可以看作是求直線y=kx+b與x軸交點的橫坐標的值。

      待定系數法

      先設出函數解析式,在根據條件確定解析式中的未知的系數,從而寫出這個式子的方法,叫待定系數法。

      用待定系數法確定解析式的步驟:

      ①設函數表達式為:y=kx 或 y=kx+b

      ②將已知點的坐標代入函數表達式,得到方程(組)

      ③解方程或組,求出待定的系數的值。

      ④把的值代回所設表達式,從而寫出需要的解析式。

      注意; 正比例函數y=kx只要有一個條件就可以。而一次函數y=kx+b需要有兩個條件。

      性質

      ①圖像形:是一條直線。稱為直線y=kx+b

      ②象限性:

      當k>0、b>0時,直線經過第一、二、三象限,不過四象限。

      當k>0、b<0時,直線經過第一、三、四象限。不過二象限

      當k<0 b="">0時,直線經過第一、二,四象限。不過三象限

      當k<0 、b<0時,直線經過第二,三、四象限。不過一象限

      ③增減性:當k>0時,直線從左向右上升,隨著x的增大(減小) y也增大(減小)

      當k<0時,直線從左向右下降。隨著x的增大(減小) y反而而減小(增大)

      ④連續(xù)性:由于自變量取值是全體實數,所以圖像具有連續(xù)性。(沒有最大或最小值)

      ⑤截距性;

      當b>0時,直線與y軸交于y軸正半軸(交點位于軸上方)

      當b<0時,直線與y軸交于y軸負半軸(交點位于軸下方)

      ⑥傾斜性:︱k︱越大,直線越靠向y軸,與x軸正方向的夾角度數越大,越陡。

      ⑦平移性; 直線y=kx+b

      當b>0時,是由直線y=kx 向上平移得到的。

      當b<0時,是由直線y=kx 向下平移得到的。

      一次函數與正比例函數關系

      正比例函數包含于一次函數,即正比例函數是一次函數;正比例函數是一次函數當b=0時的特殊情況。

      一次函數定義

      一般地,形如y=kx+b(k、b是常數,k≠0)的函數,叫一次函數。

      (存在條件: ①兩個變量x、y,②k、b是常數且k≠0,③自變量x的次數是1,④自變量x的是整式形式)

      函數

      (1)定義:設在某變化過程中有兩個變量x、y,對于x的每一個值,y都有唯一的值與之對應,那么就說x是自變量,y是因變量,此時,也稱y是x的函數。

      (2)本質:一一對應關系或多一對應關系。

      有序實數對平面直角坐標系上的點

      (3)表示方法:解析法、列表法、圖象法。

      (4)自變量取值范圍:

      對于實際問題,自變量取值必須使實際問題有意義;

      對于純數學問題,自變量取值必須保證函數關系式有意義:

      ①分式中,分母≠0;

      ②二次根式中,被開方數≥0;

      ③整式中,自變量取全體實數;

      ④混合運算式中,自變量取各解集的公共部份。

      正比例函數與反比例函數

      兩函數的異同點

      一次函數(圖象為直線)

      (1)定義式:y=kx+b(k、b為常數,k≠0);自變量取全體實數。

      (2)性質:

      ①k>0,過第一、三象限,y隨x的增大而增大;

      k<0,過第二、四象限,y隨x的增大而減小。

      ②b=0,圖象過(0,0);

      b>0,圖象與y軸的交點(0,b)在x軸上方;

      b<0,圖象與y軸的交點(0,b)在x軸下方。

      二次函數(圖象為拋物線)

      (1)自變量取全體實數

      一般式:y=ax2+bx+c(a、b、c為常數,a≠0),其中(0,c)為拋物線與y軸的交點;

      頂點式:y=a(x—h)2+k(a、h、k為常數,a≠0),其中(h,k)為拋物線頂點;

      h=—,k=零點式:y=a(x—x1)(x—x2)(a、x1、x2為常數,a≠0)其中(x1,0)、(x2,0)為拋物線與x軸的交點。x1、x2 =(b 2 —4ac ≥0)

      (2)性質:

      ①對稱軸:x=—或x=h;

      ②頂點:(—,)或(h,k);

      ③最值:當x=—時,y有最大(小)值,為或當x=h時,y有最大(小)值,為k;

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