數(shù)列求和公式方法總結(jié)
總結(jié)是事后對某一時期、某一項(xiàng)目或某些工作進(jìn)行回顧和分析，從而做出帶有規(guī)律性的結(jié)論，它可以幫助我們有尋找學(xué)習(xí)和工作中的規(guī)律，不妨讓我們認(rèn)真地完成總結(jié)吧。那么你真的懂得怎么寫總結(jié)嗎？以下是小編整理的數(shù)列求和公式方法總結(jié)，歡迎閱讀與收藏。
一、分組轉(zhuǎn)化求和法
若一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項(xiàng)――重新分組――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和
解由和式可知，式中第n項(xiàng)為an=n（3n+1）=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）
=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）
=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2
=n（n+1）2
二、奇偶分析求和法
求一個數(shù)列的`前n項(xiàng)和Sn，如果需要對n進(jìn)行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
分析：觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項(xiàng)求和法求的結(jié)果。
解：當(dāng)n為偶數(shù)時，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2
=-n2-n2+n2+n2=n
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2
=-n2+n2+n2-n2=-n
綜上所述，Sn=（-1）nn
三、并項(xiàng)求和法
一個數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中，某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項(xiàng)求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解。如例3中可用并項(xiàng)求和法求解。
例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）
=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050
四、基本公式法
如果一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項(xiàng)為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。
常用公式有
�。�1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2
（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）
�。�3）1+2+3+…+n=n（n+1）2
�。�4）1+3+5+…+2n-1=n2
（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）
�。�6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）
�。�7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2
例1：已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求Sn。
解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12
∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1
五、裂項(xiàng)相消法
如果一個數(shù)列an的通項(xiàng)公式能拆分成兩項(xiàng)差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項(xiàng)時，這時只需求有限項(xiàng)的和，把這種求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法叫做裂項(xiàng)相消法。
裂項(xiàng)相消法中常用的拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化公式有：
�。�1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）
（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）
�。�3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]
�。�4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），
其中n∈N，k∈R且k≠0
例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。
解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）
=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）
=2（1-1n+1）=2nn+1
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